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Morgenstern-Price法

Morgenstern-Price法是根据极限平衡发展起来的一种通用条分法。它需要满足各条块上作用力和作用力矩的平衡条件。通过土条间接触面将滑动面上方的土体划分为若干条块。各条块上的作用力如下图所示:

静力图 – Morgenstern-Price法

每个条块都假设承受有与Spencer法中相同的作用力。为了求解各条块的极限作用力和力矩平衡方组,在Morgenstern-Price法中做出了如下假设:

  • 各条块间的土条间接触面是垂直的
  • 条块重量 Wi 的作用线穿过 i 块条块对应滑面段的中心点,即 M
  • 法向力 Ni 作用在 i 块条块对应滑面段的中心点处,即 M 点处
  • 各条块承受的条块间作用力 Ei 的倾斜角度(δi)是不同的,在滑面端点处 δ = 0

在上述假设中已经列出了Spencer法和Morgenstern-Price法的唯一不同点。条块间作用力 Ei 倾斜角度的选取是通过半正弦函数来实现的 - 软件自动选择下图中的一种函数形式。函数形状的选取对于最终结果的影响较小,但是选择恰当的函数形式会提高计算的收敛速度。半正弦函数在边界点 xi 处的函数值 f(xi) 乘以参数 λ 得到倾斜角度 δi 的值。

半正弦函数

此方法中使用到和Spencer法中相同的方程式:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

  • (1)作用在滑面上的法向力有效应力值和总应力值之间的关系
  • (2)表征某滑面段上法向力和剪切力(NiTi)关系的Mohr-Coulomb条件
  • (3) i 滑面段法线方向上的作用力平衡方程
  • (4)沿 i 滑面段切线方向的受力平衡方程
  • (5)条块上作用力关于点 M 取矩的力矩平衡方程

整理作用力平衡方程(3)和(4)得到下列递归公式(6):

(6)

在已知 δiSF 值的情况下,上式能够计算出条块间所有的作用力 Ei。此方法假设在滑面起点处(坡脚) E 值是已知的,即 E1 = 0

从力矩平衡方程(5)得到另一递归公式(7):

(7)

对于给定的 δi 值,可以由上式计算得到所有条块间作用力的力臂值 zi。其中坡脚条块左侧的力臂值z1=0

采用以下的迭代过程计算安全系数 SF

  1. δi 的初始值根据半正弦函数确定(δi = λ * f(xi))。
  2. 当假设滑面末端条块上的 En+1 值为 0 时,对给定的 δi 值,可以根据方程式(6)计算出安全系数 SF
  3. 使用在前面步骤中确定的 Ei 值,根据最后条块上作用的合力矩值为零的条件,由方程式(7)求得一个新的δi值。函数值 f(xi) 在迭代过程中保持不变,仅迭代参数 λ。方程(7)并没有给出 zn+1 的值,而是假设等于零。在此取值条件下,必须满足力矩平衡方程(5)。
  4. 重复步骤 2 和 3 直到 δi 的值(即参数 λ)不再变化。

为了使迭代过程收敛,就必须避免不稳定解。当表达式(6)和(7)中的分母为零时会出现这种不稳定求解的情况。在式(7)中,当 δi = π/2δi = -π/2 时,分母为零。所以角 δi 的取值范围为 (-π/2; π/2)。

当满足下式时,方程式(6)中的除数为零:

另一项防止数值不稳定性的检查是对参数 mα 的验算 - 必须满足以下条件:

因此在迭代计算之前,必须找出满足上述条件的最小临界值(SFmin)。使用小于临界值 SFmin 的数值计算后会得到不稳定解,因此将 SF 设置为仅比 SFmin 大一微小增量的值进行迭代,从而保证迭代过程中得到的所有 SF 的值都大于 SFmin

一般而言,严格的计算方法比简单方法(Bishop、Fellenius)的收敛性要差。存在收敛问题的情况有:滑动面区段太陡,几何模型复杂,超载突变等。如果得不到计算结果,建议稍微改变一下输入的数据,比如:滑面不要太陡,在滑面上确定更多的点位等。或者使用一些简单的分析方法。

参考文献:

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79–93.

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388–393.

Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern–Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272–278.

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