Online Help

Vlastní kmitání

Vedle standardních výpočtů lineární a nelineární statiky umožňuje program Fin 3D stanovení vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání prutových konstrukcí. Cílem tohoto modulu je jednak umožnit uživateli odhadnout chování konstrukcí v případech, kdy setrvačné účinky hmoty dané konstrukce nelze zanedbat a v neposlední řadě jej upozornit na případné nedostatky v návrhu konstrukce v okamžiku, kdy se některá z vlastních frekvencí uvažované konstrukce nalézá v blízkosti frekvence budící.

Z hlediska mechaniky konstrukcí lze úlohu o nalezení vlastních frekvencí a vlastních tvarů netlumeného kmitání charakterizovat jako obecný problém vlastních čísel popsaný rovnicí

Je-li řád matic K a Mn, potom výše uvedená rovnice umožňuje vypočítat n vlastních frekvencí ω_i a n vlastních tvarů r_i. Z rovnice je rovněž patrné, že absolutní hodnota složek vektoru r není rozhodující pro popis tvaru kmitání. V programu Fin 3D jsou vlastní vektory r_i normovány, přitom velikost jednotlivých složek posunutí se nezobrazuje.

Matice tuhosti konstrukce K se sestavuje obdobně jako v případě úloh lineární statiky. K sestavení matice hmotnosti M je použita konzistentní formulace. Matice hmotnosti není potom diagonální, ale obecně plná. Při výpočtu prvků matice hmotnosti se vychází z objemové hmotnosti materiálu jednotlivých prutů. Hmotnost, která přímo nesouvisí se zadanou konstrukcí, má však vliv na dynamické chování konstrukce, lze do programu zavést pomocí soustředěných hmot. Zadanou hmotu (hmotnost) přiřazujeme do uzlových bodů (styčníků). Program přitom umožňuje uvažovanou hmotu vzhledem k danému uzlovému bodu dále vystředit.

Jak jsme se již zmínili, výše uvedená rovnice umožňuje vypočítat pouze tolik vlastních frekvencí, kolik je stupňů volnosti. V odborné literatuře je popsána celá řada metod umožňujících nalézt úplné řešení problému. V mnoha případech je to však nepraktické, neboť z inženýrského hlediska je důležitých pouze několik prvních vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání. Navíc vyšší vlastní tvary a frekvence jsou již zatíženy značnou chybou plynoucí z diskretizace konstrukce na jednotlivé konečné prvky. Program Fin 3D se proto omezuje na použití pouze dvou, v dnešní době nejčastěji používaných, metod určených pro řešení rozsáhlých úloh, kdy nás zajímá pouze několik prvních vlastních tvarů a frekvencí.

Metoda Iterace podporstoru

Jako první představíme nejčastěji citovanou metodu Iterace podprostoru. Tato metoda počítá zvolený počet nejnižších vlastních tvarů a frekvencí, přitom z důvodu zvýšení rychlosti konvergence se iterace provádí na větším počtu vlastních vektorů, než kolik jich je požadováno. Doporučujeme proto zadat konstrukci tak, aby měla alespoň dvojnásobný počet stupňů volnosti než je požadovaný počet vlastních tvarů. Tato metoda bohužel nezaručuje, že vypočtené vlastní frekvence jsou právě ty nejnižší. Proto je program vybaven Sturmovou kontrolou informující uživatele o případném vynechání některého z požadovaných vlastních tvarů. K selhání metody nejčastěji dochází u úloh, pro které jsou charakteristické shluky s větším počtem frekvencí. Na druhé straně si tato metoda snadno poradí s vlastními tvary příslušejícími vícenásobným vlastním frekvencím.

Lanczosova metoda

Druhou metodou implementovanou v programu Fin 3D je metoda Lanczosova. Tato metoda získává v poslední době stále více na popularitě. Její přednost se projevuje zejména u úloh s velkým počtem stupňů volnosti. Pokud řešená úloha nevyžaduje podporu pevného disku, je tato metoda výrazně rychlejší než metoda Iterace podprostoru. I když je to metoda velice spolehlivá, je podobně jako metoda Iterace podprostoru doplněna Sturmovou kontrolou. I tato metoda v současné verzi počítá pouze zvolený počet nejnižších vlastních frekvencí. Současná verze Lanczosovy metody bohužel neumožňuje separaci vlastních tvarů kmitání příslušející vícenásobným vlastním frekvencím. V takovém případě doporučujeme, aby uživatel provedl výpočet s použitím obou výše uvedených metod.

Přesnost výpočtu a konvergence

Jak jsme se již zmínili v úvodu této kapitoly, závisí přesnost výpočtu jednotlivých vlastních frekvencí na zvoleném stupni diskretizace. Teoreticky lze určit tolik vlastních tvarů a frekvencí, kolik je v konstrukci hmotných stupňů volnosti. Ve skutečnosti jsou však vlastní tvary, jejichž stupeň se blíží počtu hmotných stupňů volnosti, zatíženy značnou numerickou chybou z důvodu příliš hrubého dělení na prvky. V takovém případě je nutno zvolit jemnější dělení dílců na jednotlivé prutové prvky. Navíc rychlost konvergence k nižším vlastním tvarům kmitání závisí v případě metody Iterace podprostoru na počtu vektorů, které jsou ve výpočtu použity a jak jsme již uvedli, při iteraci se pracuje, pokud je to možné, vždy s počtem vlastních tvarů o něco vyšším než je požadovaný počet. I na tento fakt by se měl brát zřetel při volbě počtu hmotných stupňů volnosti vůči požadovanému počtu vlastních frekvencí.

Nedostatečný počet hmotných stupňů volnosti je také jedním z hlavních důvodů ukončení výpočtu, aniž byly nalezeny všechny požadované vlastní tvary kmitání uvažované konstrukce. Dalším důvodem může být nedostatečný počet zadaných iterací, popřípadě požadovaná přesnost výpočtu vlastních frekvencí. Přitom maximální počet iterací , který výpočet umožňuje je roven 200. Požadovaná tolerance na přesnost výpočtu by měla být vyšší než 10^-4.

Na tomto místě bychom rádi upozornili na speciální význam pojmu iterace v případě Lanczosovy metody. Z teoretického hlediska se jedná o generaci bázového vektoru použitého v Rayleighově - Ritzově metodě. V praxi to znamená, že maximální počet iterací nemůže být vyšší než počet hmotných stupňů volnosti. Uživatel by proto neměl být překvapen, že výpočet konstrukce se 6 stupni volnosti byl ukončen po šesté iteraci, přestože zadaný počet iterací byl zvolen 100. Volbě počtu iterací při výpočtu Lanczosovou metodou byla měla být věnována dostatečná pozornost, neboť je tím do jisté míry ovlivněna rychlost výpočtu. Důvodem je, že pro každou iteraci se alokuje část vnitřní paměti, která může být při výpočtu zcela nevyužita. Počet zadaných iterací by se měl proto co nejvíce blížit počtu iterací, které jsou pro konvergenci k požadovanému počtu zadaných vlastních frekvencí skutečně potřeba. Bohužel neexistuje žádný obecný recept, jak v takovém případě postupovat a uživatel je odkázán na svůj vlastní úsudek a zkušenost získanou při opakovaném řešení různých typů konstrukcí. Podobně jako v případě metody Iterace podprostoru je maximální počet iterací roven 200.